[SCOI 2003] 严格n元树

题目大意

如果一棵树的所有非叶节点都恰好有 nn 个儿子,那么我们称它为严格 nn 元树。如果该树中最底层的节点深度为 dd(根的深度为 00),那么我们称它为一棵深度为 dd 的严格 nn 元树。给定 nndd,求不同的深度为 dd 的严格 nn 元树有多少个。

1n321 \leqslant n \leqslant 32

1d161 \leqslant d \leqslant 16

题目链接

【SCOI 2003】严格 N 元树 - Luogu 4295

题解

DP + 高精度。

定义 f(d)f(d) 为答案,S(d)S(d)f(d)f(d) 的前缀和,表示深度不大于 dd 的严格 nn 元树的种数。考虑其 nn 个子节点,每个都有 S(d1)S(d - 1) 种可能,再加上只有一个根节点,那么有:

\begin{align} S(d) &= S(d - 1)^n + 1 \\ ans = f(d) &= S(d) - S(d - 1) \end{align}

代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
const int MAXD = 20;
struct BigInt {
std::vector<char> v;
BigInt(int x = 0) {
*this = x;
}
BigInt &operator=(int x) {
v.clear();
do v.push_back(x % 10); while (x /= 10);
return *this;
}
BigInt &operator=(const BigInt &x) {
v.resize(x.v.size());
for (int i = 0; i < x.v.size(); i++) v[i] = x.v[i];
return *this;
}
void print() const {
for (int i = v.size() - 1; ~i; i--) putchar(v[i] + '0');
}
} S[MAXD];
BigInt operator+(const BigInt &a, const BigInt &b) {
BigInt res;
res.v.clear();
bool flag = false;
for (int i = 0; i < std::max(a.v.size(), b.v.size()); i++) {
int temp = 0;
if (i < a.v.size()) temp += a.v[i];
if (i < b.v.size()) temp += b.v[i];
if (flag) temp++, flag = false;
if (temp >= 10) flag = true, temp -= 10;
res.v.push_back(temp);
}
if (flag) res.v.push_back(1);
return res;
}
BigInt &operator+=(BigInt &a, const BigInt &b) {
return a = a + b;
}
BigInt &operator++(BigInt &a) {
return a += 1;
}
BigInt operator-(const BigInt &a, const BigInt &b) {
BigInt res;
res.v.clear();
bool flag = false;
for (int i = 0; i < std::max(a.v.size(), b.v.size()); i++) {
int temp = a.v[i];
if (i < b.v.size()) temp -= b.v[i];
if (flag) temp--, flag = false;
if (temp < 0) flag = true, temp += 10;
res.v.push_back(temp);
}
int size = res.v.size();
while (size > 1 && res.v[size - 1] == 0) size--;
res.v.resize(size);
return res;
}
BigInt operator*(const BigInt &a, const BigInt &b) {
BigInt res;
res.v.resize(a.v.size() + b.v.size());
for (int i = 0; i < a.v.size(); i++) for (int j = 0; j < b.v.size(); j++) {
res.v[i + j] += a.v[i] * b.v[j];
res.v[i + j + 1] += res.v[i + j] / 10;
res.v[i + j] %= 10;
}
int size = res.v.size();
while (size > 1 && res.v[size - 1] == 0) size--;
res.v.resize(size);
return res;
}
BigInt &operator*=(BigInt &a, const BigInt &b) {
return a = a * b;
}
BigInt pow(const BigInt &a, int n) {
BigInt res(1);
for (BigInt x = a; n; n >>= 1, x *= x) if (n & 1) res *= x;
return res;
}
int main() {
int n, d;
scanf("%d %d", &n, &d);
if (d == 0) {
puts("1");
return 0;
}
S[0] = 1;
for (int i = 1; i <= d; i++) {
S[i] = pow(S[i - 1], n);
++S[i];
}
(S[d] - S[d - 1]).print();
puts("");
return 0;
}