[BZOJ 1150][CTSC 2007] 数据备份

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题目大意

在一个线段上，顺序给出 $n$ 个点到线段一端的距离。要求用 $k$ 条边连接一共 $2 k$ 个不同的点，边权即为距离。求最小边权和。

$2 \leqslant n \leqslant 100,000, \; 1 \leqslant k \leqslant \frac{n}{2}$

题目链接

BZOJ 1150

题解

优先队列 + 双向链表 + 乱搞（说「乱搞」是因为确实没有什么可说成是算法的东西。。。不过，那个时候，优先队列的实现没记错应该是手写的，也就是说，这道题本应该是像 Splay 题之类的差不多的数据结构题。。。应该。。。）

首先，显然答案中连接的边不会交叉，所以原题可描述为：给定长为 $n - 1$ 的正整数数列，不连续地选出 $k$ 个数的最小值。

把数列建成双向链表，两头是空指针，同时把所有节点放入优先队列／小根队。

每次取出一个节点，删除它以及前后两个节点（实际给节点打标记，取出来后发现被删除了就继续循环），并在原来的位置上插入一个权值为 $prev.key + next.key - key$ 、代表个数为 $prev.cnt + next.cnt - cnt$ 的节点，当选到时，表示「反悔」选择当前节点并改选两侧节点。一直循环下去，每次减去选出节点的代表个数，直至 $k$ 个数被取完。

代码

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#include <cstdio>
#include <climits>
#include <queue>
#include <algorithm>
const int MAXN = 100005;
struct Node {
    long long key;
    int cnt;
    bool del;
    Node *prev, *next;
    Node() {}
    Node(long long key, int cnt, Node *prev, Node *next) : key(key), cnt(cnt),
        prev(prev), next(next), del(false) {}
    long long getCombineKey() {
        long long res = -key;
        if (prev) res += prev->key;
        else res += INT_MAX;
        if (next) res += next->key;
        else res += INT_MAX;
        return res;
    }
    long long getCombineCnt() {
        long long res = -cnt;
        if (prev) res += prev->cnt;
        else res += INT_MAX;
        if (next) res += next->cnt;
        else res += INT_MAX;
        return res;
    }
} d[MAXN];
struct cmp {
    bool operator()(Node *a, Node *b) {
        return a->key > b->key;
    }
};
int main() {
    int n, k;
    scanf("%d %d", &n, &k);
    std::priority_queue<Node *, std::vector<Node *>, cmp> q;
    for (int i = 0, last, curr; i < n; i++, last = curr) {
        scanf("%d", &curr);
        if (!i) continue;
        d[i] = Node(curr - last, 1, i != 1 ? &d[i - 1] : NULL, i != n - 1 ? &d[i + 1] : NULL);
        q.push(&d[i]);
    }
    long long ans = 0;
    while (k > 0) {
        Node *u = q.top();
        q.pop();
        if (u->del) continue;
        u->del = true;
        if (u->prev) u->prev->del = true;
        if (u->next) u->next->del = true;
        ans += u->key;
        k -= u->cnt;
        u = new Node(u->getCombineKey(), u->getCombineCnt(),
                     u->prev ? u->prev->prev : NULL, u->next ? u->next->next : NULL);
        if (u->prev) u->prev->next = u;
        if (u->next) u->next->prev = u;
        q.push(u);
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}