[BZOJ 1150][CTSC 2007] 数据备份

题目大意

在一个线段上,顺序给出 $n$ 个点到线段一端的距离。要求用 $k$ 条边连接一共 $2 k$ 个不同的点,边权即为距离。求最小边权和。

$2 \leqslant n \leqslant 100,000, \; 1 \leqslant k \leqslant \frac{n}{2}$

题目链接

BZOJ 1150

题解

优先队列 + 双向链表 + 乱搞(说「乱搞」是因为确实没有什么可说成是算法的东西。。。不过,那个时候,优先队列的实现没记错应该是手写的,也就是说,这道题本应该是像 Splay 题之类的差不多的数据结构题。。。应该。。。)

首先,显然答案中连接的边不会交叉,所以原题可描述为:给定长为 $n - 1$ 的正整数数列,不连续地选出 $k$ 个数的最小值。

把数列建成双向链表,两头是空指针,同时把所有节点放入优先队列/小根队。

每次取出一个节点,删除它以及前后两个节点(实际给节点打标记,取出来后发现被删除了就继续循环),并在原来的位置上插入一个权值为 $prev.key + next.key - key$ 、代表个数为 $prev.cnt + next.cnt - cnt$ 的节点,当选到时,表示「反悔」选择当前节点并改选两侧节点。一直循环下去,每次减去选出节点的代表个数,直至 $k$ 个数被取完。

代码

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#include <cstdio>
#include <climits>
#include <queue>
#include <algorithm>
const int MAXN = 100005;
struct Node {
long long key;
int cnt;
bool del;
Node *prev, *next;
Node() {}
Node(long long key, int cnt, Node *prev, Node *next) : key(key), cnt(cnt),
prev(prev), next(next), del(false) {}
long long getCombineKey() {
long long res = -key;
if (prev) res += prev->key;
else res += INT_MAX;
if (next) res += next->key;
else res += INT_MAX;
return res;
}
long long getCombineCnt() {
long long res = -cnt;
if (prev) res += prev->cnt;
else res += INT_MAX;
if (next) res += next->cnt;
else res += INT_MAX;
return res;
}
} d[MAXN];
struct cmp {
bool operator()(Node *a, Node *b) {
return a->key > b->key;
}
};
int main() {
int n, k;
scanf("%d %d", &n, &k);
std::priority_queue<Node *, std::vector<Node *>, cmp> q;
for (int i = 0, last, curr; i < n; i++, last = curr) {
scanf("%d", &curr);
if (!i) continue;
d[i] = Node(curr - last, 1, i != 1 ? &d[i - 1] : NULL, i != n - 1 ? &d[i + 1] : NULL);
q.push(&d[i]);
}
long long ans = 0;
while (k > 0) {
Node *u = q.top();
q.pop();
if (u->del) continue;
u->del = true;
if (u->prev) u->prev->del = true;
if (u->next) u->next->del = true;
ans += u->key;
k -= u->cnt;
u = new Node(u->getCombineKey(), u->getCombineCnt(),
u->prev ? u->prev->prev : NULL, u->next ? u->next->next : NULL);
if (u->prev) u->prev->next = u;
if (u->next) u->next->prev = u;
q.push(u);
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}