[SCOI 2006] 整数划分

题目大意

给定一个正整数 $n$，将其划分为若干正整数的和，求这些数的积的最大值，输出答案位数和其前 $100$ 位数字。

$1 \leqslant n \leqslant 31,000$

$1 \leqslant ans \leqslant 5,000$ （答案位数）

题目链接

【SCOI 2006】整数划分 - Luogu 4157

题解

若不考虑「划分为整数」的条件，则答案为 $(\frac{n}{x})^x$，对 $y = (\frac{n}{x})^x$ 两侧同时取 $\ln$，对原单调性不影响，有 $\ln y = x (\ln n - \ln x)$，求导有：

$(\ln y)' = \ln n - \ln x - 1$

令右侧等于 $0$，得 $x = \frac{n}{e}$，即分为若干个 $e$，由于 $e$ 四舍五入为 $3$，则答案为划分为尽量多的 $3$ 和几个 $2$。

要高精度（用 Menci 的代码更新了一下版子）。

另外，那个式子是隔壁【HNOI 2012】矿场搭建的理论最大答案。。。（应该）

代码

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
struct BigInt {
    std::vector<char> v;
    BigInt(int x = 0) {
        *this = x;
    }
    BigInt &operator=(int x) {
        v.clear();
        do v.push_back(x % 10); while (x /= 10);
        return *this;
    }
    BigInt &operator=(const BigInt &x) {
        v.resize(x.v.size());
        for (int i = 0; i < v.size(); i++) v[i] = x.v[i];
        return *this;
    }
};
BigInt operator*(const BigInt &a, const BigInt &b) {
    BigInt res;
    res.v.resize(a.v.size() + b.v.size());
    for (int i = 0; i < a.v.size(); i++) for (int j = 0; j < b.v.size(); j++) {
        res.v[i + j] += a.v[i] * b.v[j];
        res.v[i + j + 1] += res.v[i + j] / 10;
        res.v[i + j] %= 10;
    }
    int size = res.v.size();
    while (size > 1 && res.v[size - 1] == 0) size--;
    res.v.resize(size);
    return res;
}
BigInt &operator*=(BigInt &a, const BigInt &b) {
    return a = a * b;
}
BigInt pow(int a, int n) {
    BigInt res(1), x(a);
    for (; n; n >>= 1, x *= x) if (n & 1) res *= x;
    return res;
}
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    BigInt ans;
    if (n % 3 == 0) ans = pow(3, n / 3);
    else if (n % 3 == 1) ans = pow(3, (n - 4) / 3) * 4;
    else ans = pow(3, (n - 2) / 3) * 2;
    printf("%d\n", (int) ans.v.size());
    for (int i = ans.v.size() - 1; i >= std::max(0, (int) ans.v.size() - 100); i--) 
        putchar(ans.v[i] + '0');
    puts("");
    return 0;
}