[SCOI 2006] 整数划分

题目大意

给定一个正整数 nn,将其划分为若干正整数的和,求这些数的积的最大值,输出答案位数和其前 100100 位数字。

1n31,0001 \leqslant n \leqslant 31,000

1ans5,0001 \leqslant ans \leqslant 5,000 (答案位数)

题目链接

【SCOI 2006】整数划分 - Luogu 4157

题解

若不考虑「划分为整数」的条件,则答案为 (nx)x(\frac{n}{x})^x,对 y=(nx)xy = (\frac{n}{x})^x 两侧同时取 ln\ln,对原单调性不影响,有 lny=x(lnnlnx)\ln y = x (\ln n - \ln x),求导有:

(lny)=lnnlnx1(\ln y)' = \ln n - \ln x - 1

令右侧等于 00,得 x=nex = \frac{n}{e},即分为若干个 ee,由于 ee 四舍五入为 33,则答案为划分为尽量多的 33 和几个 22

要高精度(用 Menci 的代码更新了一下版子)。

另外,那个式子是隔壁【HNOI 2012】矿场搭建的理论最大答案。。。(应该)

代码

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#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
struct BigInt {
std::vector<char> v;
BigInt(int x = 0) {
*this = x;
}
BigInt &operator=(int x) {
v.clear();
do v.push_back(x % 10); while (x /= 10);
return *this;
}
BigInt &operator=(const BigInt &x) {
v.resize(x.v.size());
for (int i = 0; i < v.size(); i++) v[i] = x.v[i];
return *this;
}
};
BigInt operator*(const BigInt &a, const BigInt &b) {
BigInt res;
res.v.resize(a.v.size() + b.v.size());
for (int i = 0; i < a.v.size(); i++) for (int j = 0; j < b.v.size(); j++) {
res.v[i + j] += a.v[i] * b.v[j];
res.v[i + j + 1] += res.v[i + j] / 10;
res.v[i + j] %= 10;
}
int size = res.v.size();
while (size > 1 && res.v[size - 1] == 0) size--;
res.v.resize(size);
return res;
}
BigInt &operator*=(BigInt &a, const BigInt &b) {
return a = a * b;
}
BigInt pow(int a, int n) {
BigInt res(1), x(a);
for (; n; n >>= 1, x *= x) if (n & 1) res *= x;
return res;
}
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
BigInt ans;
if (n % 3 == 0) ans = pow(3, n / 3);
else if (n % 3 == 1) ans = pow(3, (n - 4) / 3) * 4;
else ans = pow(3, (n - 2) / 3) * 2;
printf("%d\n", (int) ans.v.size());
for (int i = ans.v.size() - 1; i >= std::max(0, (int) ans.v.size() - 100); i--)
putchar(ans.v[i] + '0');
puts("");
return 0;
}