[Codeforces Hello 2019] D Makoto and a Blackboard

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题目大意

给出一个数 \(n\)，每次它会等概率地变为它的一个约数，求 \(k\) 次操作后该数的期望，对 \(1,000,000,007\) 取模。

\(1 \leq n \leq 10^{15}\)

\(1 \leq k \leq 10^4\)

题目链接

Codeforces Hello 2019 - D

题解

容易发现答案是关于 \(n\) 的积性函数，则只需考虑 \(n = p^q ~ (p \text{ is prime})\) 时的答案，记为 \(f(p, q, k)\)，则有： \[ f(p, q, k) = \frac{1}{q + 1} \sum_{i = 0}^{q} f(p, i, k - 1) \] 通过预处理逆元和前缀和可以做到 \(O(qk)\) （不预处理逆元也可以过）。

代码

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#include <bits/stdc++.h>

const int MOD = 1000000007;

long long qpow(long long a, long long n) {
    long long res = 1;
    for (; n; n >>= 1, a = a * a % MOD) if (n & 1) res = res * a % MOD;
    return res;
}

long long inv(long long x) {
    return qpow(x, MOD - 2);
}

const int MAXK = 10005;

std::queue<std::pair<long long, int> > q;

long long calc(long long p, long long n, long long k) {
    static long long f[2][MAXK];
    for (int i = 0; i <= n; i++) f[0][i] = qpow(p, i);

    int curr = 0, last = 1;
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            f[curr][j] += f[curr][j - 1];
            f[curr][j] >= MOD ? f[curr][j] -= MOD : 0;
        }
        curr ^= 1, last ^= 1;
        for (int j = 0; j <= n; j++)
            f[curr][j] = f[last][j] * inv(j + 1) % MOD;
    }

    return f[curr][n];
}

int main() {
    long long n;
    int k;
    scanf("%lld %d", &n, &k);

    long long temp = n;
    for (long long i = 2; i * i <= temp; i++) if (temp % i == 0) {
        int k = 0;
        while (temp % i == 0) {
            ++k;
            temp /= i;
        }
        q.emplace(i, k);
    }
    if (temp > 1) q.emplace(temp, 1);

    long long ans = 1;
    while (!q.empty()) {
        auto u = q.front();
        q.pop();

        long long t = calc(u.first, u.second, k);
        ans = ans * t % MOD;
    }

    printf("%lld\n", ans);
    
    return 0;
}