Dinic 算法整理笔记

算法介绍

Dinic 算法是一种用于解决网络流问题的算法,算法复杂度(上界)为 \(O(n^2m)\) ,实际要比这个式子好得多(比如用 Dinic 算二分图时的复杂度是 \(O(m\sqrt{n})\) )。

Dinic 算法通过对残量网络建立层次图,并在层次图上不断寻找增广路来算出最大流。

残量网络:原图及其反向边构成的图。

反向边:与原边反向的边,原图上的边的反向边的容量为 \(0\) ,每一条边在残量网络上均有其反向边。

层次图:只保留相邻层次之间的边,且不考虑已达到满流的边的图。

层次:可以视作到源点的距离分类。

增广路:残量网络上一条从源点到汇点的边,其所有边中的最小容量为其增广容量。

当前边优化:建立层次图以后,若某个点有一条边已经增广过了,则这条边在当前层次图之后的增广中不会再用到。

实现的部分

对于边与点,我们这么储存(链式前向星式):

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struct Edge;
struct Node {
Edge *firstEdge, *currentEdge;
int level;
} N[MAXN];
struct Edge {
Node *from, *to;
Edge *next, *reversedEdge;
int capacity, flow;
Edge(Node *from, Node *to, int capacity) : from(from), to(to), capacity(capacity), flow(0), next(from->firstEdge) {}
};

当图比较稠密时,可以考虑用 std::vector 存图,说法来自知乎。。。亲测差不多的样子。。。

模板题及其代码

模板题:LYOI 115

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#include <cstdio>
#include <climits>
#include <queue>
#include <algorithm>
const int MAXN = 205;
struct Edge;
struct Node {
Edge *e, *curr;
int level;
} N[MAXN];
struct Edge {
Node *u, *v;
Edge *next, *rev;
int cap, flow;
Edge(Node *u, Node *v, int cap) : u(u), v(v), next(u->e), cap(cap), flow(0) {}
};
void addEdge(int u, int v, int cap) {
N[u].e = new Edge(&N[u], &N[v], cap);
N[v].e = new Edge(&N[v], &N[u], 0);
N[u].e->rev = N[v].e;
N[v].e->rev = N[u].e;
}
namespace Dinic {
bool makeLevelGraph(Node *s, Node *t, int n) {
for (int i = 1; i <= n; i++) N[i].level = 0;
std::queue<Node *> q;
q.push(s);
s->level = 1;
while (!q.empty()) {
Node *u = q.front();
q.pop();
for (Edge *e = u->e; e; e = e->next) {
if (e->cap > e->flow && e->v->level == 0) {
e->v->level = u->level + 1;
if (e->v == t) return true;
else q.push(e->v);
}
}
}
return false;
}
int findPath(Node *s, Node *t, int limit = INT_MAX) {
if (s == t) return limit;
for (Edge *&e = s->curr; e; e = e->next) {
if (e->cap > e->flow && e->v->level == s->level + 1) {
int flow = findPath(e->v, t, std::min(limit, e->cap - e->flow));
if (flow > 0) {
e->flow += flow;
e->rev->flow -= flow;
return flow;
}
}
}
return 0;
}
int solve(int s, int t, int n) {
int res = 0;
while (makeLevelGraph(&N[s], &N[t], n)) {
for (int i = 1; i <= n; i++) N[i].curr = N[i].e;
int flow;
while ((flow = findPath(&N[s], &N[t])) > 0) res += flow;
}
return res;
}
}
int main() {
int n, m;
scanf("%d %d", &m, &n);
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u, v, c;
scanf("%d %d %d", &u, &v, &c);
addEdge(u, v, c);
}
printf("%d\n", Dinic::solve(1, n, n));
return 0;
}